Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，動點M為右準線上一點（異于右準線與x軸的交點），設線段FM交橢圓C于點P，已知橢圓C的離心率為

2

3

，點M的橫坐標為

9

2

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設直線PA的斜率為k₁，直線MA的斜率為k₂，求k₁•k₂的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知解得

a=3 c=2.

．由此可知橢圓C的標準方程為

x2

9

+

y2

5

=1．
（2）設點P（x₁，y₁）（-2＜x₁＜3），點M(

9

2

，y2)，由點F、P、M三點共線，知點M(

9

2

，

13y1

2(x1+2)

)．k₁•k₂=

y1

x1-3

×

13y1

3(x1+2)

=

13y12

3(x1+2)(x1-3)

．由此可導出k₁•k₂的取值范圍是(-∞，-

26

9

)．

解答：解：（1）由已知，得

c a = 2 3 a2 c = 9 2

（2分）
解得

a=3 c=2.

∴

a2=9 b2=5.

（4分）
∴橢圓C的標準方程為

x2

9

+

y2

5

=1；（6分）
（2）設點P（x₁，y₁）（-2＜x₁＜3），
點M(

9

2

，y2)，∵點F、P、M三點共線，x₁≠-2，
∴

y1

x1+2

=

y2

13 2

，y2=

13y1

2(x1+2)

，∴點M(

9

2

，

13y1

2(x1+2)

)．（8分）
∵k1=

y1

x1-3

，k2=

13y1

3(x1+2)

，
∴k₁•k₂=

y1

x1-3

×

13y1

3(x1+2)

=

13y12

3(x1+2)(x1-3)

．（10分）
∵點P在橢圓C上，∴

x12

9

+

y12

5

=1，∴y12=-

5

9

(x12-9)．
∴k₁•k₂=

13×(- 5 9 )(x12-9)

3(x1+2)(x1-3)

=-

65

27

×

x1+3

x1+2

=-

65

27

×(1+

1

x1+2

)．（12分）
∵-2＜x₁＜3，∴k1•k2＜-

26

9

．∴k₁•k₂的取值范圍是(-∞，-

26

9

)．（14分）

點評：本題考查直線的圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．