Question

【題目】已知函數 ．
（1）求f（x）的極值；
（2）當0＜x＜e時，求證：f（e+x）＞f（e﹣x）；
（3）設函數f（x）圖象與直線y=m的兩交點分別為A（x1 ， f（x1）、B（x2 ， f（x2）），中點橫坐標為x0 ， 證明：f'（x0）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，f（x）的定義域是（0，+∞），

x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；

x∈（e，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．

當x=e時，f（x）取極大值為 ，無極小值

（2）解：要證f（e+x）＞f（e﹣x），即證： ，

只需證明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）．

設F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），

，

∴F（x）＞F（0）=0，

故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），

即f（e+x）＞f（e﹣x）

（3）解：證明：不妨設x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e，

由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2），

又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上單調遞減，

∴2e﹣x1＜x2，即x1+x2＞2e，

∴ ，∴f'（x0）＜0

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的極值即可；（2）問題轉化為證明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），設F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根據函數的單調性證明即可．