Question

【題目】已知數列{an]的前n項和記為Sn ， 且滿足Sn=2an﹣n，n∈N* （Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）證明： +… （n∈N*）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵Sn=2an﹣n（n∈N+）， ∴Sn﹣1=2an﹣1﹣n+1=0（n≥2），
兩式相減得：an=2an﹣1+1，
變形可得：an+1=2（an﹣1+1），
又∵a1=2a1﹣1，即a1=1，
∴數列{an+1}是首項為2、公比為2的等比數列，
∴an+1=22n﹣1=2n ， an=2n﹣1．
（Ⅱ）由 ，（k=1，2，…n），
∴ = ，
由 = ﹣ ，（k=1，2，…n），
得 ﹣ = ，
綜上， +… （n∈N*）．
【解析】（Ⅰ）通過Sn=2an﹣n（n∈N+）與Sn﹣1=2an﹣1﹣（n﹣1）（n≥2）作差、變形可知an+1=2（an﹣1+1），進而計算即得結論．（Ⅱ）利用 ，（k=1，2，…n）， = ﹣ （k=1，2，…n），可證明， +… （n∈N*）．