Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=SB=SC=2CD=2，側(cè)面SBC⊥底面ABCD．
（1）由SA的中點E作底面的垂線EH，試確定垂足H的位置；
（2）求二面角E-BC-A的大小．

Answer 1

（1）作SO⊥BC于O，則SO?平面SBC，
又面SBC⊥底面ABCD，
面SBC∩面ABCD=BC，
∴SO⊥底面ABCD①
又SO?平面SAO，∴面SAO⊥底面ABCD，
作EH⊥AO，∴EH⊥底面ABCD②
即H為垂足，由①②知，EH∥SO，
又E為SA的中點，∴H是AO的中點．

（2）過H作HF⊥BC于F，連接EF，
由（1）知EH⊥平面ABCD，∴EH⊥BC，
又EH∩HF=H，∴BC⊥平面EFH，∴BC⊥EF，
∴∠HFE為面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角．
在等邊三角形SBC中，∵SO⊥BC，
∴O為BC中點，又BC=2．
∴SO=

22-12

=

3

，EH=

1

2

SO=

3

2

，
又HF=

1

2

AB=1，
∴在Rt△EHF中，tan∠HFE=

EH

HF

=

3 2

1

=

3

2

，
∴∠HFE=arctan

3

2

．
即二面角E-BC-A的大小為arctan

3

2

．