Question

已知函數(shù)，，

（Ⅰ）若曲線與曲線相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求的值及該切線的方程；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù),當(dāng)存在最小值時(shí)，求其最小值的解析式；

（Ⅲ）對(duì)（Ⅱ）中的，證明：當(dāng)時(shí)， .

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）a=， y－e= (x－e²)(II) （Ⅲ）利用函數(shù)的單調(diào)性證明

【解析】

試題分析：（Ⅰ）=,=(x>0),

由已知得 解得a=，x=e²,

∴兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e²,e) 切線的斜率為k=f’(e²)=

∴切線的方程為 y－e= (x－e²)

(II)由條件知h(x)=–aln x(x＞0),

（i）當(dāng)a>0時(shí)，令解得，

∴當(dāng)0 << 時(shí)，，在（0，）上遞減；

當(dāng)x>時(shí)，，在上遞增.

∴是在上的唯一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是的最小值點(diǎn).

∴最小值

（ii）當(dāng)時(shí)，在（0，+∞）上遞增，無(wú)最小值。

故的最小值的解析式為

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

則，令解得.

當(dāng)時(shí)，，∴在上遞增；

當(dāng)時(shí)，，∴在上遞減.

∴在處取得最大值

∵在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以也是的最大值.

∴當(dāng)時(shí)，總有

考點(diǎn)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)本身是個(gè)解決問(wèn)題的工具，是高考必考內(nèi)容之一，高考往往結(jié)合函數(shù)甚至是實(shí)際問(wèn)題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求單調(diào)、最值、完成證明等，請(qǐng)注意歸納常規(guī)方法和常見(jiàn)注意點(diǎn)