Question

已知函數， 
（1）若曲線與在公共點處有相同的切線，求實數、的值；
（2）當時，若曲線與在公共點處有相同的切線，求證：點唯一；
（3）若，，且曲線與總存在公切線，求正實數的最小值

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）正實數的最小值為1

試題分析：（1）求實數、的值，因為曲線與在公共點處有相同的切線，由導數的幾何意義可得，，解出即可；（2）當時，若曲線與在公共點處有相同的切線，求證：點唯一，可設，由題設得，，轉化為關于的方程只有一解，進而構造函數，轉化為函數只有一個零點，可利用導數即可證明；（3）設曲線在點處的切線方程為，則只需使該切線相切即可，也即方程組只有一解即可，所以消后，問題轉化關于的方程總有解，分情況借助導數進行討論即可求得值最小值
試題解析：（1）， ∵曲線與在公共點處有相同的切線∴　，　 解得，            3分
（2）設，則由題設有       ①又在點有共同的切線
∴代入①得     5分
設，則，
∴在上單調遞增，所以 ＝0最多只有個實根，
從而，結合（1）可知，滿足題設的點只能是            7分
（3）當，時，，，
曲線在點處的切線方程為，即 
由，得  
∵ 曲線與總存在公切線，∴ 關于的方程，
即 總有解                    9分
若，則，而，顯然不成立，所以     10分
從而，方程可化為  
令，則 
∴ 當時，；當時，，即 在上單調遞減，在上單調遞增 ∴在的最小值為，
所以，要使方程有解，只須，即               14分