Question

對于函數有以下四個結論：
①f（x）的定義域為R；
②f（x）在（0，+∞）上是增函數；
③f（x）是偶函數；
④若已知f（a）=m，則f（-a）=2a²-m．
正確的命題是    ．

Answer 1

【答案】分析：①根據真數大于零，可知恒成立，求出定義域為R；②根據復合函數的單調性的判定方法，同增異減，可以判定函數y=lg（）在R上是增函數，根據在同一定義域內增函數+增函數=增函數，可知函數f（x）在（0，+∞）上是增函數；③舉例說明即可，驗證f（-1）≠f（1），即可說明函數不是偶函數；④根據g（x）=f（x）-x²=lg（），利用奇偶性的定義判定函數是奇函數，求出g（a）=f（a）-a²=m-a²，從而求得g（-a），進而求得f（-a）的值．
解答：解：①要使函數有意義，須，而恒成立，
∴函數的定義域為R，故①正確；
②已知函數y=x²在（0，+∞）上是增函數；下面判定函數y=lg（）也是增函數，
令t=，則y=lgt在（0，+∞）上是增函數，而t=在R上是增函數，
根據復合函數的單調性可知y=lg（）在R上是增函數，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數，故②正確；
③=，
而=，
∴f（-1）≠f（1），所以f（x）不是偶函數，故③錯；
④令g（x）=f（x）-x²=lg（），則g（x）+g（-x）=lg（）+lg（）
=lg=lg1=0，
∴g（-x）=-g（x），即g（x）是奇函數；
∵f（a）=m，∴g（a）=f（a）-a²=m-a²，
∴g（-a）=-g（a）=-m+a²，
∴f（-a）=g（-a）+a²=2a²-m，故④正確；
故正確的命題是①②④，
故答案為：①②④．
點評：本題是中檔題，考查對數函數的有關性質，定義域、復合函數的單調性、奇偶性等問題，利用基本函數的基本性質解答問題，是解好數學問題的關鍵．