Question

（2012•江蘇三模）已知函數f（x）=x²+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的導函數．
（1）若x∈[-2，-1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范圍；
（2）解關于x的方程f（x）=|f′（x）|；
（3）設函數g(x)=

f′(x)，f(x)≥f′(x) f(x)，f(x)＜f′(x)

，求g（x）在x∈[2，4]時的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）≤f'（x），可得x²-2x+1≤2a（1-x），分離參數，確定右邊函數的最大值，即可求a的取值范圍；
（2）由f（x）=|f'（x）|，可得|x+a|=1+a或|x+a|=1-a，再分類討論，即可得到結論；
（3）由f（x）-f'（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，g(x)=

f′(x)，f(x)≥f′(x) f(x)，f(x)＜f′(x)

，對a進行分類討論，即可確定g（x）在x∈[2，4]時的最小值．

解答：解：（1）因為f（x）≤f'（x），所以x²-2x+1≤2a（1-x），
又因為-2≤x≤-1，所以a≥

x2-2x+1

2(1-x)

在x∈[-2，-1]時恒成立，
因為

x2-2x+1

2(1-x)

=

1-x

2

≤

3

2

，所以a≥

3

2

．…（4分）
（2）因為f（x）=|f'（x）|，所以x²+2ax+1=2|x+a|，
所以（x+a）²-2|x+a|+1-a²=0，則|x+a|=1+a或|x+a|=1-a． …（7分）
①當a＜-1時，|x+a|=1-a，所以a＞b＞c或x=1-2a；
②當-1≤a≤1時，|x+a|=1-a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1-2a或x=-（1+2a）；
③當a＞1時，|x+a|=1+a，所以x=1或x=-（1+2a）．…（10分）
（3）因為f（x）-f'（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，g(x)=

f′(x)，f(x)≥f′(x) f(x)，f(x)＜f′(x)

①若a≥-

1

2

，則x∈[2，4]時，f（x）≥f'（x），所以g（x）=f'（x）=2x+2a，
從而g（x）的最小值為g（2）=2a+4；            …（12分）
②若a＜-

3

2

，則x∈[2，4]時，f（x）＜f'（x），所以g（x）=f（x）=x²+2ax+1，
當-2≤a＜-

3

2

時，g（x）的最小值為g（2）=4a+5，
當-4＜a＜-2時，g（x）的最小值為g（-a）=1-a²，
當a≤-4時，g（x）的最小值為g（4）=8a+17．…（14分）
③若-

3

2

≤a＜-

1

2

，則x∈[2，4]時，g(x)=

x2+2ax+1，x∈[2，1-2a) 2x+2a，x∈[1-2a，4]

當x∈[2，1-2a）時，g（x）最小值為g（2）=4a+5；
當x∈[1-2a，4]時，g（x）最小值為g（1-2a）=2-2a．
因為-

3

2

≤a＜-

1

2

，（4a+5）-（2-2a）=6a+3＜0，
所以g（x）最小值為4a+5．
綜上所述，[g(x)]min=

8a+17，a≤-4 1-a2，-4＜a＜-2 4a+5，-2≤a＜- 1 2 2a+4，a≥- 1 2

…（16分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的最值，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，正確分類是關鍵．