Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，短軸兩個端點為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長的左、右端點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P．證明：

OM

•

OP

為定值．
（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知a=2，b=c，b²=2，由此可知橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）設M（2，y₀），P（x₁，y₁），則

OP

=(x1，y1)，

OM

=(2，y0)，直線CM：y=

y0

4

(x+2)，即y=

y0

4

x+

1

2

y0，代入橢圓方程x²+2y²=4，得(1+

y 2 0

8

)x2+

1

2

y

2 0

x+

1

2

y

2 0

-4=0，然后利用根與系數的關系能夠推導出

OM

•

OP

為定值．
（3）設存在Q（m，0）滿足條件，則MQ⊥DP．

MQ

=(m-2，-y0)，

DP

=(-

4 y 2 0

y 2 0 +8

，

8y0

y 2 0 +8

)，再由

MQ

•

DP

=0得-

4 y 2 0

y 2 0 +8

(m-2)-

8 y 2 0

y 2 0 +8

=0，由此可知存在Q（0，0）滿足條件．

解答：解：（1）a=2，b=c，a²=b²+c²，∴b²=2；
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1（4分）
（2）C（-2，0），D（2，0），設M（2，y₀），P（x₁，y₁），
則

OP

=(x1，y1)，

OM

=(2，y0)
直線CM：y=

y0

4

(x+2)，即y=

y0

4

x+

1

2

y0，代入橢圓方程x²+2y²=4，
得(1+

y 2 0

8

)x2+

1

2

y

2 0

x+

1

2

y

2 0

-4=0（6分）
∵x₁=-

1

2

4( y 2 0 -8)

y 2 0 +8

，∴x1=-

2( y 2 0 -8)

y 2 0 +8

，∴y1=

8y0

y 2 0 +8

，∴

OP

=(-

2( y 2 0 -8)

y 2 0 +8

，

8y0

y 2 0 +8

)（8分）
∴

OP

•

OM

=-

4( y 2 0 -8)

y 2 0 +8

+

8 y 2 0

y 2 0 +8

=

4 y 2 0 +32

y 2 0 +8

=4（定值）（10分）
（3）設存在Q（m，0）滿足條件，則MQ⊥DP（11分）

MQ

=(m-2，-y0)，

DP

=(-

4 y 2 0

y 2 0 +8

，

8y0

y 2 0 +8

)（12分）
則由

MQ

•

DP

=0得-

4 y 2 0

y 2 0 +8

(m-2)-

8 y 2 0

y 2 0 +8

=0，從而得m=0
∴存在Q（0，0）滿足條件（14分）

點評：本題考查直線和橢圓的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．