Question

給出以下五個(gè)命題：
①y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的圖象中相鄰兩個(gè)對稱中心的距離為π；
②y=

x+3

x-1

的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對稱；
③關(guān)于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，則a=-1
④命題P：對任意x∈R，都有sinx≤1；則￢p：存在x∈R，使得sinx＞1；
⑤函數(shù)y=3^x+3^-x（x＜0）的最小值為2．其中真命題的序號是

③④

．

Answer 1

分析：將函數(shù)利用誘導(dǎo)公式和二倍角正弦的公式化簡整理，得y=

1

2

cos2x，所以它的周期為π，由此可知①不正確；對于②，函數(shù)化簡為y=

4

x-1

+1，故它的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱，故②不正確；利用一元二次方程根的判斷式，對方程進(jìn)行討論，可得③正確；根據(jù)含有量詞命題的否定法則，可得④正確；根據(jù)基本不等式的等號成立的條件，可得⑤不正確．

解答：解：①y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）=

1

2

sin(2x+

π

2

)=

1

2

cos2x，
∴y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的圖象中相鄰兩個(gè)對稱中心的距離為

π

2

，故①不正確；
②y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，它的圖象由y=

4

x

先右移一個(gè)單位，再上移一個(gè)單位而得，
因?yàn)閥=

4

x

的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以y=

x+3

x-1

的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱，故②不正確；
③∵關(guān)于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，
∴當(dāng)a=0時(shí)，-1=0矛盾，
當(dāng)a≠0時(shí)，根的判別式△=4a²+4a=0，解得a=-1（舍零），故③正確；
④根據(jù)含有量詞的命題的否定，得
命題P：“對任意x∈R，都有sinx≤1．”的否定￢p：“存在x∈R，使得sinx＞1．”，故④正確；
⑤根據(jù)基本不等式，y=3^x+3^-x≥2

3x•3-x

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)的最小值是2，而條件中x為負(fù)數(shù)，故⑤不成立．
故答案為：③④．

點(diǎn)評：本題考查真假命題的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)、函數(shù)的對稱中心、一元二次方程根的判別式、基本不等式等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．