Question

（2013•寧波模擬）已知F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，滿足

MF1

⊥

MF2

的點M總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是

（O，

2

2

）

．

Answer 1

分析：根據垂直兩個向量的數量積為0，可得M點的軌跡是以原點O為圓心，半焦距c為半徑的圓．而M總在橢圓內部，說明該圓內含于橢圓，由此建立關于b、c的不等式，結合橢圓的平方關系化簡整理即可得到橢圓離心率e的取值范圍．

解答：解：設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），可得F₁（-c，0），F₂（c，0）
∵

MF1

•

MF2

=0，
∴M點的軌跡是以原點O為圓心，半焦距c為半徑的圓．
又∵M點總在橢圓內部，
∴該圓內含于橢圓，可得c＜b，
平方得c²＜b²，即c²＜a²-c²．
∴e²=

c2

a2

＜

1

2

，可得離心率e滿足：0＜e＜

2

2

．
故答案為：（O，

2

2

）

點評：本題給滿足指向橢圓兩個焦點的向量數量積為0，且該點總在橢圓內部，求橢圓的離心率范圍，著重考查了橢圓的方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．