Question

已知函數的導函數為，的圖象在點，處的切線方程為，且，直線是函數的圖象的一條切線.

（1）求函數的解析式及的值；

（2）若對于任意，恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) ,(2) .

【解析】

試題分析：(1) 先求,根據導數的幾何意義，得：,,列方程，解得,解得,易知與相交于，又相切，所以函數在原點處的切線斜率為1,即,求出;(2)代入函數后，整理成的形式，所以即求在，的最小值，設,利用分析,結合定義域，求出最小值.較難題型.

試題解析：（1）解：， 1分

由題意，，①

，②

，③

由①②③解得，，，

所以. 4分

由題意，與相切可知，函數在原點處的切線斜率為1，

因為，所以. 6分

（2）解：問題等價于，

整理得=對于任意，恒成立，

只需求在，的最小值. 8分

設，則， 10分

又，，

所以必有一實根，且，，，

當，時，；當，時，，

，

所以在，的最小值為1， 13分

所以，

即實數的取值范圍是，. 14分

考點：1.導數的幾何意義；2.利用導數求函數最值；3構造函數.