Question

我們把在平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過點(diǎn)A（-3，4），且其法向量為

n

=(1，-2)的直線方程為1x（x+3）+（-2）×（y-4）=0，化簡得x-2y+11=0．類比上述方法，在空間坐標(biāo)系O-xyz中，經(jīng)過點(diǎn)A（1，2，3），且其法向量為

n

=(-1，-2，1)的平面方程為

 

．

Answer 1

分析：類比求曲線方程的方法，我們可以用坐標(biāo)法，求空間坐標(biāo)系中平面的方程．任取平面內(nèi)一點(diǎn)P（x，y，z），則根據(jù)

PA

⊥

n

，即

PA

•

n

=0，將A點(diǎn)坐標(biāo)及

n

的坐標(biāo)代入易得平面的方程．

解答：解：根據(jù)法向量的定義，若

n

為平面α的法向量
則

n

⊥α，任取平面α內(nèi)一點(diǎn)P（x，y，z），
則

PA

⊥

n

∵PA=（1-x，2-y，3-z），

n

=(-1，-2，1)
∴（x-1）+2（y-2）+（3-z）=0
即：x+2y-z-2=0
故答案為：x+2y-z-2=0

點(diǎn)評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．由于平面向量與空間向量的運(yùn)算性質(zhì)相似，故我們可以利用求平面曲線方程的辦法，構(gòu)造向量，利用向量的性質(zhì)解決空間內(nèi)平面方程的求解．