Question

在平面直角坐標系中，直線的參數方程為：（為參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．
（Ⅰ）求曲線的平面直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線與曲線交于點，若點的坐標為，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

解析試題分析：（Ⅰ）直接根據極坐標方程與直角坐標的轉換關系式結合三角函數中的兩角和與差的三角函數公式即可實現將曲線的參數方程化為直角坐標方程；（Ⅱ）先將直線的參數方程與曲線的直角坐標方程聯立轉化為含的一元二次方程，然后根據參數方程中的相關理論直接求的值.
試題解析：（Ⅰ）由，得，
當時，得，
對應直角坐標方程為：.
當，有實數解，說明曲線過極點，而方程所表示的曲線也過原點.
∴曲線的直角坐標方程為．　       3分
（Ⅱ）把直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，得，
即，由于，故可設是上述方程的兩實根，
則.      5分
∵直線過點，
∴由的幾何意義，可得．    7分
考點：極坐標與參數方程、韋達定理