Question

對于直角坐標平面內任意兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定義它們之間的一種“新距離”：|AB|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．給出下列三個命題：
①若點C在線段AB上．則|AC|+|BC|=|AB|；
②在△ABC中，若∠C=90°，則|AC|²+|CB|²=|AB|²；
③在△ABC中，|AC|+|CB|＞|AB|．
其中的真命題為（ ）
A．①②③
B．①②
C．①
D．②③

Answer 1

【答案】分析：對于①若點C在線段AB上，設C點坐標為（x，y）然后代入驗證顯然|AC|+|CB|=|AB|成立．成立故正確．
對于②平方后不能消除x，y，命題不成立；
對于③在△ABC中，用坐標表示|AC|+|CB|然后根據絕對值不等式可得到大于|AB|不成立，故可得到答案．
解答：解：對于直角坐標平面內的任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
定義它們之間的一種“距離”：|AB|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．
對于①若點C在線段AB上，設C點坐標為（x，y），x在x₁、x₂之間，y在y₁、y₂之間，
則|AC|+|CB|=|x-x₁|+|y-y₁|+|x₂-x|+|y₂-y|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|成立，故①正確．
對于②平方后不能消除x，y，命題不成立；
對于③在△ABC中，|AC|+|CB|=|x-x₁|+|y-y₁|+|x₂-x|+|y₂-y|≥|（x-x₁）+（x₂-x）|+|（y-y₁）+（y₂-y）|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=|AB|．③不一定成立
∴命題①成立，
故選：C．
點評：此題主要考查新定義的問題，對于此類型的題目需要認真分析題目的定義再求解，切記不可脫離題目要求．屬于中檔題目．本題的易錯點在于不等式：|a|+|b|≥|a+b|忘記等號也可以成立．