Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， a1=1，且（n+1）an=2Sn（n∈N*），數列{bn}滿足 ， ，對任意n∈N* ， 都有 ．
（1）求數列{an}、{bn}的通項公式；
（2）令Tn=a1b1+a2b2+…+anbn ． 若對任意的n∈N* ， 不等式λnTn+2bnSn＜2（λn+3bn）恒成立，試求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（n+1）an=2Sn，∴ ，n∈N*

當n≥2時， ，

∴nan﹣1=（n﹣1）an，即 （ n≥2）．

∴ （n≥2），

又a1=1，也滿足上式，

故數列{an}的通項公式an=n（n∈N*）．．

由 ， ， ，

可知：數列{bn}是等比數列，其首項、公比均為 ，

∴數列{bn}的通項公式：bn=

（2）解：∵anbn=n ．

∴Tn= +3× +…+n ．

= +…+（n﹣1） +n ，

∴ Tn= +…+ ﹣n = ﹣n ，

∴ ．

又Sn=1+2+…+n= ．

不等式λnTn+2bnSn＜2（λn+3bn）恒成立，

即λn + ＜2 ，

即（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＜0，（n∈N*）恒成立．

設f（n）=（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6，（n∈N*）．

當λ=1時，f（n）=﹣n﹣6＜0恒成立，則λ=1滿足條件；

當λ＜1時，由二次函數性質知不恒成立；

當λ＞1時，由于對稱軸x= ＜0，則f（n）在[1，+∞）上單調遞減，

∴f（n）≤f（1）=﹣3λ﹣4＜0恒成立，則λ＞1滿足條件，

綜上所述，實數λ的取值范圍是[1，+∞）

【解析】（1）由（n+1）an=2Sn ， 可得 ，n∈N* ， 利用遞推關系可得： （ n≥2）．利用“累乘求積”方法即可得出an ． 利用等比數列的通項公式即可得出bn ． （2）由anbn=n ，利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出Tn ． 代入不等式λnTn+2bnSn＜2（λn+3bn），化簡整理利用二次函數的單調性即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)．