Question

已知兩點A、B分別在直線y=x和y=-x上運動，且，動點P滿足（O為坐標原點），點P的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點作它的切線l，與橢圓交于M、N兩點，求證：為定值．

Answer 1

解：（1）（方法一）設P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．
∵，∴P是線段AB的中點，∴（2分）
∵，∴，∴．
∴化簡得點P的軌跡C的方程為．（5分）
（方法二）∵，∴P為線段AB的中點、（2分）
∵M、N分別在直線y=x和y=-x上，∴∠AOB=90°．
又，∴，∴點P在以原點為圓心，為半徑的圓上、
∴點P的軌跡C的方程為．（5分）
（2）證明：當直線l的斜率存在時，設l：y=kx+m，
∵l與C相切，∴=，∴．
聯立，∴．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁•x₂=，．（8分）
∴•=x₁x₂+y₁y₂=．
又，∴•=0．（10分）
當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=±，代入橢圓方程得
M（，），N（，-）或M（-，），N（-，-），
此時，•=-=0．
綜上所述，•為定值0．（12分）
分析：（1）（方法一）設P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．由，知P是線段AB的中點，由此能得到點P的軌跡C的方程．
（方法二）由，知P為線段AB的中點，由M、N分別在直線y=x和y=-x上，知∠AOB=90°．由此能得到點P的軌跡C的方程．
（2）當直線l的斜率存在時，設l：y=kx+m，由l與C相切，知=，．聯立，故．由此能夠證明•為定值0．
點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓、橢圓的相關知識．