Question

已知命題p：函數(shù)f（x）=x²-4mx+4m²+2在區(qū)間[-1，3]上的最小值等于2；命題q：不等式x+|x-m|＞1對(duì)于任意x∈R恒成立；命題r：{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²≥1}．如果上述三個(gè)命題中有且僅有一個(gè)真命題，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，算出當(dāng)p為真命題時(shí)，可得-1≤2m≤3即-

1

2

≤m≤

3

2

；根據(jù)絕對(duì)值的意義求出y=x+|x-m|的最小值，得當(dāng)q為真命題時(shí)m＞1；根據(jù)集合的概念與運(yùn)算，可得當(dāng)r為真命題時(shí)m≥1或m≤-1．再根據(jù)它們
有且僅有一個(gè)真命題，分三種情況加以討論，最后綜合可得本題答案．

解答：解：若命題p為真命題
則函數(shù)f（x）=x²-4mx+4m²+2在區(qū)間[-1，3]上的最小值等于2，
恰好為f（2m）是二次函數(shù)在R上是最小值
∴-1≤2m≤3即-

1

2

≤m≤

3

2

…（2分）
若命題q為真命題
則有?x∈R，x+|x-m|＞1，即函數(shù)y=x+|x-m|的最小值m＞1         …（5分）
若命題r為真命題
則：{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²≥1}成立
∴m＞2m+1或1≤m≤2m+1或m≤2m+1≤-1，
解之得m＜-1或m≥1或m=-1，即m≥1或m≤-1         …（8分）
①若p真q、r假，則-

1

2

≤m＜1 …（9分）
②若q真p、r假，則不存在m的值滿足條件  …（10分）
③若r真p、q假，則m≤-1   …（11分）
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤-1 或-

1

2

≤m＜1．     …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出三個(gè)命題當(dāng)中有且僅有一個(gè)為真命題，求參數(shù)m的范圍．著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、集合的概念與運(yùn)算和絕對(duì)值的意義等知識(shí)，屬于中檔題．