Question

【題目】已知函數f（x）=x2+mx﹣4在區間[﹣2，1]上的兩個端點處取得最大值和最小值．
（1）求實數m的所有取值組成的集合A；
（2）試寫出f（x）在區間[﹣2，1]上的最大值g（m）；
（3）設h（x）=﹣ x+7，令F（m）= ，其中B=RA，若關于m的方程F（m）=a恰有兩個不相等的實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2+mx﹣4在區間[﹣2，1]上的兩個端點處取得最大值和最小值，

∴函數在區間[﹣2，1]上是單調函數，

又∵函數f（x）的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x=﹣

∴必有﹣ ≥1，或﹣ ≤﹣2，解得m≥4或 m≤﹣2，

∴實數m的所有取值組成的集合A={m|m≥4或 m≤﹣2}

（2）解：當 m≥4時，﹣ ≤﹣2，函數f（x）在區間[﹣2，1]上單調遞增，

∴函數f（x）的最大值g（m）=f（1）=m﹣3；

當m≤﹣2 時，﹣ ≥1，函數f（x）在區間[﹣2，1]上單調遞減，

∴函數f（x）的最大值g（m）=f（﹣2）=﹣2m

（3）解：由題意可知F（m）= ，

關于m的方程F（m）=a恰有兩個不相等的實數根等價于y=F（m）的圖象與y=a的圖象有兩個不同的交點，

作圖可知實數a的取值范圍為：a＞ 或1＜a＜4

【解析】（1）問題等價于函數在區間[﹣2，1]上是單調函數，由二次函數可得﹣ ≥1，或﹣ ≤﹣2，解得不等式即可；（2）分類討論結合單調性可得：當 m≥4時g（m）=f（1）=m﹣3，當m≤﹣2時g（m）=f（﹣2）=﹣2m．（3）由題意可知F（m）= ，問題等價于y=F（m）的圖象與y=a的圖象有兩個不同的交點，數形結合易得答案．
【考點精析】通過靈活運用集合的補集運算和二次函數在閉區間上的最值，掌握對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集,簡稱為集合A的補集，記作：CUA即：CUA={x|x∈U且x∈A};補集的概念必須要有全集的限制；當時，當時，；當時在上遞減，當時，即可以解答此題．