Question

（2013•南通一模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

．
（1）求角C的大��；
（2）若△ABC的外接圓直徑為1，求a²+b²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由條件利用同角三角函數的基本關系以及兩角和差的正弦公式化簡可得sin（C-A）=sin（B-C）．
故有 C-A=B-C，或者C-A=π-（B-C） （不成立，舍去），即 2C=A+B，由此求得C的值．
（2）由于C=

π

3

，設A=

π

3

+α，B=

π

3

-α，-

π

3

＜α＜

π

3

，由正弦定理可得 a²+b²=sin²A+sin²B=
1+

1

2

cos2α．由-

2π

3

＜2α＜

2π

3

，根據余弦函數的定義域和值域求得 a²+b²的取值范圍．

解答：解：（1）在△ABC中，∵tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

，∴

sinC

cosC

=

sinA+sinB

cosA+cosB

，
化簡可得 sinCcosA-cosCsinA=sinBcosC-cosBsinC，即 sin（C-A）=sin（B-C）．
∴C-A=B-C，或者C-A=π-（B-C） （不成立，舍去），即 2C=A+B，∴C=

π

3

．
（2）由于C=

π

3

，設A=

π

3

+α，B=

π

3

-α，-

π

3

＜α＜

π

3

，
由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，
∴a²+b²=sin²A+sin²B=

1-cos2A

2

+

1-cos2B

2

=1-

1

2

[cos（

2π

3

+2α）+cos（

2π

3

-2α）]
=1+

1

2

cos2α．
由-

2π

3

＜2α＜

2π

3

，可得-

1

2

＜cos2α≤1，∴

3

4

＜1+

1

2

cos2α≤

3

2

，即a²+b²的取值范圍為 （

3

4

，

3

2

]．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，同角三角函數的基本關系、余弦定理、余弦函數的定義域和值域、
兩角和差的正弦公式，屬于中檔題．