Question

如圖，幾何體SABC的底面是由以AC為直徑的半圓O與△ABC組成的平面圖形，SO⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=SB=SC=A C=4，BC=2．
（l）求直線SB與平面SAC所成角的正弦值；
（2）求幾何體SABC的正視圖中△S₁A₁B₁的面積；
（3）試探究在圓弧AC上是否存在一點P，使得AP⊥SB，若存在，說明點P的位置并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理和性質定理及線面角的定義即可求出；
（2）由（1）可知：A₁B₁=AH，而可證明SO為高，進而即可求出面積；
（3）利用線面垂直的判定定理和性質定理及圓心角定理即可得出．

解答：解：（1）如圖1過點B作BH⊥AC于點H，連接SH．
∵SO⊥平面ABC，BH?平面ABC，
∴BH⊥SO．
又SO∩AC=O，
∴BH⊥平面SAC，
即∠BSH就是直線SB與平面SAC所成角．
在△ABC中，∵AB⊥BC，AC=4，BC=2，
∴∠ACB=60°，BH=2sin60°=

3

．
在Rt△BSH中，∵SB=4，
∴sin∠BSH=

BH

SB

=

3

4

，
即直線SB與平面SAC所成角的正弦值為

3

4

．
（2）由（1）知，幾何體SABC的正視圖中，△S₁A₁B₁的邊A1

B

1

=AH=AC-HC，
而HC=2cos60°=1，∴A1

B

1

=3．
又△S₁A₁B₁的邊A₁B₁上的高等于幾何體SABC中SO的長，而SA=SC=AC=4，∴SO=2

3

，
∴S△S1A1B1=

1

2

×3×2

3

=3

3

．
（3）存在．
證明如下：
如圖2，連接BO并延長交弧AC于點M，
在底面內，過點A作AP⊥BM交弧AC于點P．          
∵SO⊥平面ABC．
而AP?平面ABC，∴AP⊥SO．         
又∵AP⊥BM，SO∩BM=O，
∴AP⊥平面SOB，從而AP⊥SB． 
又∵AO=OC=BC=2，∴∠AOM=∠BOC=∠ACB=60°，
∴∠AOM=∠POM=60°，∠AOP=120°，
即點P位于弧AC的三等分的位置，且∠AOP=120°．

點評：熟練掌握用線面垂直的判定定理和性質定理及線面角的定義、三角形的面積公式、圓心角定理是解題的關鍵．