Question

如果函數f（x）滿足下列條件：
①對于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（0）=0，f（1）=1；
②對于滿足條件0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，0≤x₁+x₂≤1的任意兩個數x₁，x₂，
都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．則稱函數f（x）為Γ函數．
（Ⅰ）分別判斷函數f₁（x）=x與f₂（x）=sin

π

2

x是否為Γ函數，并說明理由；
（Ⅱ）證明：對于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）；
（Ⅲ）不等式f（x）≤

3

2

x對于一切x∈[0，1]都成立嗎？證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）按照Γ函數的定義逐個驗證即可；
（Ⅱ）欲證對于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y），將y寫成y-x+x，利用f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）進行放縮即得．
（Ⅲ）取函數f(x)=

0，0≤x≤ 1 2 1， 1 2 ＜x≤1

，驗證此函數符合題目中的條件（1），（2），但是f（0.51）=1＞1.5×0.51=0.785．從而不等式f（x）≤

3

2

x并不對所有x∈[0，1]都成立．

解答：（Ⅰ）解：對任意x∈[0，1]，f₁（x）=x≥0，且f₁（0）=0，f₁（1）=1，滿足條件①；
對滿足條件0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，0≤x₁+x₂≤1的任意兩個數x₁，x₂，f₁（x₁+x₂）=x₁+x₂≥f₁（x₁）+f₁（x₂）=x₁+x₂，滿足條件②．
故f₁（x）=x是Γ函數；
對任意x∈[0，1]，f₂（x）=sin

π

2

x≥0成立，且f₂（0）=0，f₂（1）=1，滿足條件①；
但取x₁=1，x₂=2時，f₂（x₁+x₂）=sin

3

2

π=-1，f₂（x₁）+f₂（x₂）=sin

π

2

+sinπ=1，f（x₁+x₂）＜f（x₁）+f（x₂），不滿足條件②，
故f₂（x）=sin

π

2

x不是Γ函數；
（Ⅱ）證明：對于任意的0≤x≤y≤1，
則0≤y-x≤1，∴f（y-x）≥0．
∴f（y）=f（y-x+x）≥f（y-x）+f（x）≥f（x）．
∴對于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）．
（Ⅲ）不都成立，證明如下：
取函數f(x)=

0，0≤x≤ 1 2 1， 1 2 ＜x≤1

，
則f（x）顯然滿足題目中的（1），（2）兩個條件．
任意取兩個數x₁，x₂，使得x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
若x₁，x₂∈[0，1]，則f（x₁+x₂）≥0=f（x₁）+f（x₂）．
若x₁，x₂分別屬于區間[0，

1

2

]和（

1

2

，1]中一個，則f（x₁+x₂）=1=f（x₁）+f（x₂），
而x₁，x₂不可能都屬于（

1

2

，1]．
綜上可知，f（x）滿足題目中的三個條件．
而f（0.51）=1＞1.5×0.51=0.785．
即不等式f（x）≤

3

2

x并不對所有x∈[0，1]都成立．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．