Question

【題目】已知四棱錐中，底面，，，，是中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線和平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：(1)首先在相應(yīng)的平面內(nèi)借助于三角形的中位線，得到對(duì)應(yīng)的平行線，再根據(jù)線面平行的判定定理證得線面平行的結(jié)果；

(2)利用幾何體中的垂直關(guān)系，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量所成角的余弦值的絕對(duì)值求得對(duì)應(yīng)的線面角的正弦值.

詳解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、，

∵、分別為、的中點(diǎn)，

∴，且，

又∵，

∴且，

∴ ，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面．

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)，，，，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

，，

∴即令，則，，，

設(shè)直線與平面所成角為，

．