Question

用0，1，2，3，4這五個數字組成無重復數字的自然數．
（Ⅰ）在組成的三位數中，求所有偶數的個數；
（Ⅱ）在組成的三位數中，如果十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都小，則稱這個數為“凹數”，如301，423等都是“凹數”，試求“凹數”的個數；
（Ⅲ）在組成的五位數中，求恰有一個偶數數字夾在兩個奇數數字之間的自然數的個數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為數字0不能排在首位，末位是0時又是偶數，所以針對于0進行討論，當末位是0時，十位和百位從4個元素中選兩個進行排列，當末位不是0時，只能從2和4中選一個，百位從3個元素中選一個，十位從三個中選一個．根據分類計數原理得到結果．
（Ⅱ）十位上的數為0，1，2，分類討論即可得出結論；
（Ⅲ）1和3兩個奇數夾著0時，把這三個元素看做一個整體，和另外兩個偶數全排列，其中1和3之間還有一個排列，共有2A₃³種結果，1和3兩個奇數夾著2時，注意0不能放在首位，當1和3兩個奇數夾著4時，同理，得到結果．

解答：解：（Ⅰ）根據分類計數原理知，
當末位是0時，十位和百位從4個元素中選兩個進行排列有A₄²=12種結果，
當末位不是0時，只能從2和4中選一個，百位從3個元素中選一個，十位從三個中選一個共有A₂¹A₃¹A₃¹=18種結果，
根據分類計數原理知共有12+18=30種結果；
（Ⅱ）十位上的數為0時，有4×3=12個，十位上的數為1時，有3×2=6個，十位上的數為2時，有2×1=2個，共有20個；
（Ⅲ）1和3兩個奇數夾著0時，把這三個元素看做一個整體，和另外兩個偶數全排列，其中1和3之間還有一個排列，共有2A₃³=12種結果，
1和3兩個奇數夾著2時，同前面類似，只是注意0不能放在首位，共有2C₂¹A₂²=8，
當1和3兩個奇數夾著4時，也有同樣多的結果，共有2C₂¹A₂²=8，
根據分類加法原理得到共有12+8+8=28種結果．

點評：對于復雜一點的計數問題，有時分類以后，每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個原理解決，即類中有步，步中有類．