Question

【題目】已知圓C的圓心在直線3x﹣y=0上且在第一象限，圓C與x相切，且被直線x﹣y=0截得的弦長為2 ．
（1）求圓C的方程；
（2）若P（x，y）是圓C上的點，滿足 x+y﹣m≤0恒成立，求m的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設圓心為（3t，t），半徑為r=|3t|，

則圓心到直線y=x的距離 ，

而 =r2﹣d2，

∴9t2﹣2t2=7，

∴t=±1，

∴（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．

∴圓心在第一象限的圓是（x﹣3）2+（y﹣1）2=9

（2）解：由題知，m≥（ x+y）max．

設x=1+3cosθ，y=3+3sinθ，

則 x+y= （1+3cosθ）+（3+3sinθ）=6sin（θ+ ）+3+

∴6sin（θ+ ）=1時，（ x+y）max=9+

∴m≥9+

【解析】（1）本小題根據圓的半徑，弦長的一般與圓心到弦的距離組成的直角三角形求得，進而求得t的 值，再結合圓心在第一象限求得圓的方程；（2）對于圓，可以轉化為x=a+rcosθ，y=b+rsinθ，這樣可以根據三角函數的取值范圍求得相關代數式的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了三角函數的最值的相關知識點，需要掌握函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，才能正確解答此題．