Question

【題目】設橢圓的右焦點為，以原點為圓心，短半軸長為半徑的圓恰好經過橢圓的兩焦點，且該圓截直線所得的弦長為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過定點的直線交橢圓于兩點、，橢圓上的點滿足，試求的面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據圓和橢圓的位置關系得到，根據圓截直線所得的弦長求得，由此求得，進而求得橢圓的標準方程.

（2）設過點的直線方程為，聯立直線的方程和橢圓的方程，消去并寫出判別式和根與系數關系，由求得點坐標，將點坐標代入橢圓方程，結合根與系數關系進行化簡，由此求得的值，從而求得的值，進而求得三角形的面積.

（1）以原點為圓心，短半軸長為半徑的圓的方程為.

∵圓過橢圓的兩焦點，∴.

∵圓截直線所得的弦長為.

∴，解得.

∴.

∴橢圓的標準方程為.

（2）設過點的直線方程為.兩點的坐標分別為，，

聯立方程，得，，

∴，，

∵，∴點，

∵點在橢圓上，∴有，

即，

∴，

即，解得，

∴，

∴.