Question

【題目】在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒（如圖）．設小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長分別為a厘米和b厘米，其中a≥b．
（1）當a=90時，求紙盒側面積的最大值；
（2）試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為矩形紙板ABCD的面積為3600，故當a=90時，b=40，

從而包裝盒子的側面積S=2×x（90﹣2x）+2×x（40﹣2x）=﹣8x2+260x，x∈（0，20）

因為S=﹣8x2+260x=﹣8（x﹣16.25）2+2112.5，

故當x=16.25時，側面積最大，最大值為2112.5平方厘米

（2）解：包裝盒子的體積V=（a﹣2x）（b﹣2x）x=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]，x∈（0， ），b≤60．

V=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]≤x（ab﹣4 x+4x2）=x（3600﹣240x+4x）

=4x3﹣240x2+3600x．

當且僅當a=b=60時等號成立．

設f（x）=4x3﹣240x2+3600x，x∈（0，30）．則f′（x）=12（x﹣10）（x﹣30）．

于是當0＜x＜10時，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上單調遞增；

當10＜x＜30時，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上單調遞減．

因此當x=10時，f（x）有最大值f（10）=16000，此時a=b=60，x=10．

答：當a=b=60，x=10時紙盒的體積最大，最大值為16000立方厘米

【解析】（1）當a=90時，b=40，求出側面積，利用配方法求紙盒側面積的最大值；（2）表示出體積，利用基本不等式，導數知識，即可確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．