Question

在△ABC中，sinB+sinC=sin（A-C）．
（1）求A的大小；
（2）若BC=3，求△ABC的周長l的最大值．

Answer 1

分析：（1）將sinB+sinC=sin（A-C）變形得sinC（2cosA+1）=0，得到cosA=-

1

2

，故A=

2π

3

．
 （2）記B=θ，則C=

π

3

-θ（0＜θ＜

π

3

），由正弦定理得

AC=2 3 sinθ AB=2 3 sin( π 3 -θ)

，△ABC的周長l=2

3

sin（θ+

π

3

）+3，
由正弦函數(shù)的值域求得其最大值．

解答：解：（1）將sinB+sinC=sin（A-C）變形得sinC（2cosA+1）=0，
而sinC≠0，則cosA=-

1

2

，又A∈（0，π），于是A=

2π

3

；                  
（2）記B=θ，則C=

π

3

-θ（0＜θ＜

π

3

），由正弦定理得

AC=2 3 sinθ AB=2 3 sin( π 3 -θ)

，
則△ABC的周長l=2

3

[sinθ+sin（

π

3

-θ）]+3=2

3

sin（θ+

π

3

）+3≤2

3

+3，
當且僅當θ=

π

6

時，周長l取最大值2

3

+3．

點評：本題考查兩角差的正弦公式，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，正弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域，得到△ABC的周長l=
2

3

sin（θ+

π

3

）+3，是解題的關(guān)鍵．