Question

設x=3是函數f（x）=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一個極值點，
（Ⅰ）求a與b的關系式（用a表示b），并求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）設a＞0，g（x）=（a²+）e^x，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-f（ξ₂）＜1|成立，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）f′(x)=-[x²+(a-2)x+b-a]e^3-x，
由f′(3)=0，得-[3²+(a-2)3+b-a]e^3-3=0，即得b=-3-2a，
則f′(x)=[x²+(a-2)x-3-2a-a]e^3-x=-[x²+(a-2)x-3-3a]e^3-x=-(x-3)(x+a+1)e^3-x，
令f′(x)=0，得x₁=3或x₂=-a-1，
由于x=3是極值點，所以x+a+1≠0，那么a≠-4，
當a＜-4時，x₂＞3=x₁，
則在區間（-∞，3）上，f′(x)＜0，f(x)為減函數；
在區間（3，-a-1）上，f′(x)＞0，f(x)為增函數；
在區間（-a-1，+∞）上，f′(x)＜0，f(x)為減函數；
當a＞-4時，x₂＜3=x₁，則在區間（-∞，-a-1）上，f′(x)＜0，f(x)為減函數；
在區間（-a-1，3）上，f′(x)＞0，f(x)為增函數；
在區間（3，+∞）上，f′(x)＜0，f(x)為減函數。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a＞0時，f(x)在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，
那么f(x)在區間[0，4]上的值域是[min(f(0)，f(4))，f(3)]，
而f(0)=-（2a+3）e³＜0，f(4)=（2a+13）e^-1＞0，f (3)=a+6，
那么f(x)在區間[0，4]上的值域是[-（2a+3）e³，a+6]，
又在區間[0，4]上是增函數，
且它在區間[0，4]上的值域是[a²+，（a²+）e⁴]，
由于（a²+）-（a+6）=a²-a+=（）²≥0，
所以只須僅須（a²+）-（a+6）＜1且a＞0，解得0＜a＜，
故a的取值范圍是（0，）。