Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），兩個焦點分別為F₁和F₂，斜率為k的直線l過右焦點F₂且與橢圓交于A、B兩點，設l與y軸交點為P，線段PF₂的中點恰為B．若|k|≤

2 5

5

，求橢圓C的離心率的取值范圍．

Answer 1

分析：設橢圓離心率為e，設F₂的坐標為（c，0），設l的方程為y=kx+m，則可求得l與y軸的交點，進而求得B點坐標，帶橢圓方程求得e和k的關系式，進而根據k的范圍得出關于e的不等式，求得e的范圍．

解答：解：設橢圓離心率為e，設F₂的坐標為（c，0），其中c²=a²-b²，
設l的方程為y=kx+m，則l與y軸的交點為（0，m），m=-kc，
所以B點的坐標為（

c

2

，-

kc

2

），將B點坐標代入橢圓方程得

c2

a2

+

c2

b2

•k²=4，即e²+

k2

1 e2 -1

=4，
所以k²=（4-e²）•（

1

e2

-1）≤

4

5

，即5e⁴-29e²+20≤0，解之可得，

4

5

≤e²≤5，
又有橢圓的性質，所以

2 5

5

≤e＜1，
因此橢圓C的離心率取值范圍為[

2 5

5

，1）．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質．解題的關鍵是充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化．