Question

已知雙曲線過點（4，

4 7

3

），漸近線方程為y=±

4

3

x，圓C經過雙曲線的一個頂點和一個焦點且圓心在雙曲線上，則圓心到該雙曲線的中心的距離是（　　）

• A、

  4

  3

• B、

  4 7

  3

• C、4
• D、

  16

  3

Answer 1

分析：由題意易得雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

16

=1，頂點為（±3，0），焦點為（±5，0）．又圓心在雙曲線上，所以圓C應過左頂點、左焦點或右頂點、右焦點，即圓心的橫坐標為±4，設圓心的縱坐標為m，則

16

9

-

m2

16

=1，由此能得到所求的距離．

解答：解：由題意易得雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

16

=1，
頂點為（±3，0），焦點為（±5，0）．又圓心在雙曲線上，
所以圓C應過左頂點、左焦點或右頂點、右焦點，即圓心的橫坐標為±4，
設圓心的縱坐標為m，則

16

9

-

m2

16

=1，
所以m²=

16×7

9

=

112

9

，
所求的距離為

(±4)2+ 112 9

=

16

3

．
故選D．

點評：本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要注意點到直線的距離公式的合理運用．