Question

已知a∈R，
命題p：實系數一元二次方程x²+ax+2=0的兩根都是虛數；
命題q：存在復數z同時滿足|z|=2且|z+a|=1．
試判斷：命題p和命題q之間是否存在推出關系？請說明你的理由．

Answer 1

分析：利用一元二次方程根的個數與△的關系，可得實系數一元二次方程x²+ax+2=0的兩根都是虛數，即△＜0，進而求出參數a的取值范圍，再根據復數模的計算公式，根據復數z同時滿足|z|=2且|z+a|=1，可計算出命題q中參數a的取值范圍，然后根據兩個范圍對應集合之間的關系，易判斷命題p和命題q之間是否存在推出關系．

解答：解：若命題p為真，可得△=a2-8＜0?a∈(-2

2

，2

2

)；
若命題q為真，可知復平面上的圓x²+y²=4和圓（x+a）²+y²=1有交點，
于是由圖形不難得到a∈[-3，-1]∪[1，3]，
若令集合A=(-2

2

，2

2

)，集合B=[-3，-1]∪[1，3]，
可知集合A和集合B之間互不包含，
于是命題p和命題q之間不存在推出關系．

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，及充要條件的定義，其中求出兩個命題中參數的范圍，將命題之間的包含關系轉化為集合之間的包含關系，是解答本題的關鍵．