Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值，且導函數f′（x）的極值點是f（x）的零點．（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值）
（Ⅰ）求b關于a的函數關系式，并寫出定義域；
（Ⅱ）證明：b2＞3a；
（Ⅲ）若f（x），f′（x）這兩個函數的所有極值之和不小于﹣ ，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：因為f（x）=x3+ax2+bx+1，
所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，
令g′（x）=0，解得x=﹣ ．
由于當x＞﹣ 時g′（x）＞0，g（x）=f′（x）單調遞增；當x＜﹣ 時g′（x）＜0，g（x）=f′（x）單調遞減；
所以f′（x）的極小值點為x=﹣ ，
由于導函數f′（x）的極值點是原函數f（x）的零點，
所以f（﹣ ）=0，即﹣ + ﹣ +1=0，
所以b= + （a＞0）．
因為f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值，
所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有兩個不等的實根，
所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣ + ＞0，解得a＞3，
所以b= + （a＞3）．
（Ⅱ）證明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a= ﹣ + = （4a3﹣27）（a3﹣27），
由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；
（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的極小值為f′（﹣ ）=b﹣ ，
設x1 ， x2是y=f（x）的兩個極值點，則x1+x2= ，x1x2= ，
所以f（x1）+f（x2）= + +a（ + ）+b（x1+x2）+2
=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2
= ﹣ +2，
又因為f（x），f′（x）這兩個函數的所有極值之和不小于﹣ ，
所以b﹣ + ﹣ +2= ﹣ ≥﹣ ，
因為a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，
所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，
所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，
由于a＞3時2a2+12a+9＞0，
所以a﹣6≤0，解得a≤6，
所以a的取值范圍是（3，6]．
【解析】（Ⅰ）通過對f（x）=x3+ax2+bx+1求導可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，進而再求導可知g′（x）=6x+2a，通過令g′（x）=0進而可知f′（x）的極小值點為x=﹣ ，從而f（﹣ ）=0，整理可知b= + （a＞0），結合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值可知f′（x）=0有兩個不等的實根，進而可知a＞3．
（Ⅱ）通過（1）構造函數h（a）=b2﹣3a= ﹣ + = （4a3﹣27）（a3﹣27），結合a＞3可知h（a）＞0，從而可得結論；
（Ⅲ）通過（1）可知f′（x）的極小值為f′（﹣ ）=b﹣ ，利用韋達定理及完全平方關系可知y=f（x）的兩個極值之和為 ﹣ +2，進而問題轉化為解不等式b﹣ + ﹣ +2= ﹣ ≥﹣ ，因式分解即得結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解基本求導法則(若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導)，還要掌握利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減)的相關知識才是答題的關鍵．