Question

（必修3做）設計一個求

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

99×100

的值的程序框圖．
（必修5做）請畫出以A（3，-1）、B（-1，1）、C（1，3）為頂點的△ABC的區域（包括邊界），寫出表示該區域的二元一次不等式組，并求出以該區域為可行域的目標函數z=3x-2y的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）這是一個累加求和問題，共99項相加，可設計一個計數變量，一個累加變量，用循環結構實現這一算法．
（2）本題考查的知識點是線性規劃，處理的思路為：根據已知的可行域，給出對應的約束條件，處理的方法遵循“線定界，點定域”，再使用角點法，求出目標函數的最大值．

解答：（必修3做） 解：程序框圖如下：

（必修5做）解：如圖所示：△ABC的區域是如圖的陰影部分，
直線AB的方程為：x+2y-1=0，BC及CA的直線方程分別是：x-y+2=0，2x+y-5=0．（1分）
在△ABC的內部取一點P（1，1），分別代入x+2y-1，x-y+2，2x+y-5，
得x+2y-1＞0，x-y+2＞0，2x+y-5＜0，（3分）
因此所求區域的不等式組為

x+2y-1≥0 x-y+2≥0 2x+y-5≤0

（4分）
作平行于直線3x-2y=0的直線系l：3x-2y=z，（5分）
當直線y=

3

2

x-

z

2

過A（3，-1）時，直線l在y軸上的截距-

z

2

有最小值-

11

2

此時z有最大值11．（7分）
當直線y=

3

2

x-

z

2

過B（-1，1）時，直線l在y軸上的截距-

z

2

有最大值

5

2

，
此時z有最小值是-5（9分）
故函數z=3x-2y
在約束條件

x+2y-1≥0 x-y+2≥0 2x+y-5≤0

下的最大值是11，最小值是-5．（10分）

點評：（1）本題主要考查設計程序框圖解決實際問題．在一些算法中，也經常會出現從某處開始，按照一定條件，反復執行某一處理步驟的情況，這就是循環結構．循環結構要在某個條件下終止循環，這就需要條件分支結構來判斷．在循環結構中都有一個計數變量和累加變量．計數變量用于記錄循環次數，累加變量用于輸出結果，計數變量和累加變量一般是同步執行的，累加一次，計數一次．
（2）用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解．