Question

已知(

x

2

-

1

3 x

)n各項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展開式的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，由二項(xiàng)式定理可得2ⁿ=256，解可得n的值；
（2）由二項(xiàng)式定理可得，(

x

2

-

1

3 x

)n展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C₈^r（

x

2

）^8-r•（-

1

3 x

）^r=（-1）^r•C₈^r（

1

2

）^r•x8-

4r

3

；要求常數(shù)項(xiàng)，令8-

4r

3

=0，可得r=6，則常數(shù)項(xiàng)為T₇，將r=6代入可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，(

x

2

-

1

3 x

)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)為256，
由二項(xiàng)式定理可得2ⁿ=256，解可得n=8；
（2）由二項(xiàng)式定理可得，(

x

2

-

1

3 x

)n展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C₈^r（

x

2

）^8-r•（-

1

3 x

）^r=（-1）^r•C₈^r（

1

2

）^r•x8-

4r

3

；
令8-

4r

3

=0，可得r=6，
則常數(shù)項(xiàng)為T₇=

C

6 8

(

1

2

)2(-1)6=7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，要牢記二項(xiàng)式（x+y）ⁿ中，其二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ．