Question

已知數列的各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意，滿足關系.

（Ⅰ）證明：是等比數列；

（Ⅱ）在正數數列中，設，求數列中的最大項.

 

Answer 1

【答案】

(1)根據數列的定義，只要證明從第二項起，每一項與前面一項的比值為定值即可。(2)

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：∵ ①

∴ ② 

②－①，得

∵故數列是等比數列

（1）由S_n=2a_n-2（n∈N^*），知S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*），所以a_n=2a_n-2a_n-1．（n≥2，n∈N^*），由此可知a_n=2ⁿ．（n∈N^*）．

（2）令，∵在區間（0，e）上，f'（x）＞0，在區間（e，+∞）上，f'（x）＜0．在區間（e，+∞）上f（x）為單調遞減函數．（12分）

∴n≥2且n∈N^*時，|lnc_n|是遞減數列．又lnc₁＜lnc₂，∴數列|lnc_n|中的最大項為lnc₂=

考點：等比數列的概念和數列的單調性

點評：該試題屬于常規試題，主要是根據已知的關系式，變形為關于通項公式之間的遞推關系，加以證明，屬于基礎題。