Question

某工廠有120名工人，其年齡都在20～60歲之間，各年齡段人數按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]分組，其頻率分布直方圖如右圖所示，工廠為了開發新產品，引進了新的生產設備，要求每個工人都要參加A、B兩項培訓，培訓結束后進行結業考試，已知各年齡段兩項培訓結業考試成績優秀的人數如下表所示，假設兩項培訓是相互獨立的，結業考試也互不影響．

年齡分組	A項培訓成績優秀人數	B項培訓成績優秀人數
[20，30）	30	18
[30，40）	36	24
[40，50）	12	9
[50，60]	4	3

（1）若用分層抽樣法從全廠工人中抽取一個容量為40的樣本，求各年齡段應分別抽取的人數，并估計全廠工人的平均年齡；
（2）隨機從年齡段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，設這兩人中A、B兩項培訓結業考試成績都優秀的人數為X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

解：（1）由題意及頻率分布直方圖可知：
各年齡段的人數20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的分別為：0.035×10×120=42，0.040×10×120=48，0.015×10×120=18，0.01×10×120=12，
若要從120人中抽取40人則利用分層抽樣可知每一個年齡段內應抽的人數分別為：，，，，
所以每一段在抽取的40個人的樣本中個年齡段應分別抽取的人數分別為：14，16，6，4；
有所給的頻率分布直方圖可知全廠工人的平均年齡為：25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35，
有圖估計全場工人的平均年齡為35歲；
（2）因為年齡段在[20，30）和[30，40）中的人數分別為：42人，48人，若隨機從年齡段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，則概率分別為為：，
隨機從年齡段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，，有表可知：從[20，30]年齡段抽一人，該人是A項目培訓結業考試成績優秀的概率為：，該人B項目培訓結業考試成績優秀的概率為，所以改年齡段抽取的一人兩個項目都優秀的概率為：；從年齡段[30，40]抽一人，該人A項目結業考試成績優秀的概率為：，該人B項目培訓結業考試成績優秀的概率為：，所以在該年齡段內任抽一名兩個項目都優秀的概率為：，
由題意隨機從年齡段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，設這兩人中A、B兩項培訓結業考試成績都優秀的人數為X的可能只為0，1，2，
每一個值下對應的概率為：P（X=0）=
P（X=1）=
P（X=2）=，
所以X的分布列為：

利用隨機變量的期望公式得：EX=．
分析：（1）由題意及頻率分布直方圖可知：各年齡段的人數20，30），[30，40），[40，50），[50，60]的分別為：0.035×10×120=42，0.040×10×120=48，0.015×10×120=18，0.01×10×120=12，利用分層抽樣方法得：每一個年齡段內應抽的人數分別為：，，，，有所給的頻率分布直方圖可知全廠工人的平均年齡為：25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35即為所求；
（2）有表可知：從[20，30]年齡段抽一人，該人是A項目培訓結業考試成績優秀的概率為：，該人B項目培訓結業考試成績優秀的概率為：所以改年齡段抽取的一人兩個項目都優秀的概率為：，從年齡段[30，40]抽一人，該人A項目結業考試成績優秀的概率為：，該人B項目培訓結業考試成績優秀的概率為：，所以在該年齡段內任抽一名兩個項目都優秀的概率為：，由題意隨機從年齡段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，設這兩人中A、B兩項培訓結業考試成績都優秀的人數為X的可能只為0，1，2，利用分布列定義及期望定義即可求得．
點評：此題考查了平率分布直方圖，分層抽樣，有直方圖估計平均值，獨立事件都發生的概率公式，隨機變量的分布列，期望，還考查了學生的理解與計算能力．