Question

給出以下五個命題，其中所有正確命題的序號為   
①函數的最小值為l+2；
②已知函數f （x）=|x²-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，則動點P（a，b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小值為1；
③命題“函數f（x）=xsinx+1，當x₁，x₂∈，且|x₁|＞|x₂|時，有f （x₁）＞f（x₂）”是真命題；
④“”是函數“y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期為4”的充要條件；
⑤已知等差數列{a_n}的前n項和為Sn，為不共線向量，又，若，則S₂₀₁₂=2013．

Answer 1

【答案】分析：分析①中函數的單調性及定義域，可求出①中函數的最小值，進而判斷①的真假；
分析②中函數f （x）=|x²-2|圖象和性質及已知中f （a）=f （b），且0＜a＜b，可判斷出動點P（a，b）的軌跡方程，分析曲線上點到直線距離的最值，可得答案；
分析③中函數的奇偶性及單調性，即可判斷出|x₁|＞|x₂|時，f （x₁）與f（x₂）的大小，進而判斷③的真假；
分析④中，的值，及y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期為4時，對應的a值，比較后根據充要條件的定義可得答案；
根據三點共線的充要條件，分析出a+a₂₀₁₂=1，進而根據前n項和公式求出S₂₀₁₂，即可判斷⑤的真假．
解答：解：①中函數的定義域為{x|x≥4或x≤0}．
又x∈[4，+∞）時，f（x）單調遞增，⇒f（x）≥f（4）=1+2；
而x∈（-∞，0]時，f（x）單調遞減，⇒f（x）≥f（0）=0+4=4；
故最小值為1+2，
故①正確；
②中，由題意可得0＜a＜＜b，f （a）=2-a²，f （b）=b²-2，
∴a²+b²=4（0＜a＜＜b），
其圖象為一段圓弧，由于弧a²+b²=4（0≤a≤≤b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小的點為（，）
但弧a²+b²=4（0＜a＜＜b）不含（，）點
故②錯誤；
③中，函數f（x）=xsinx+1為偶函數，且在上為增函數
故當|x₁|＞|x₂|時，有f （x₁）＞f（x₂），
故③正確；
④中，=，則y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期為4，
但當y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期為4，a=±
故“”是函數“y=cos²（ax）-sin²（ax）的最小正周期為4”的充分不必要條件；
故④錯誤；
⑤中，若，則P，A，B三點共線
又，
∴a+a₂₀₁₂=1
∴S₂₀₁₂=≠2013
故⑤錯誤
故答案為：①③
點評：本題是一個函數性質及數列的綜合題，難度稍大，熟練掌握函數的定義域、值域（最值）的求法，函數的單調性、奇偶性，充要條件的定義，向量法三點共線的充要條件及數據的前n項和公式是解答的關鍵．