Question

【題目】在直角坐標系中，橢圓的方程為(為參數)；以原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為．

（1）求橢圓的極坐標方程，及圓的直角坐標方程；

（2）若動點在橢圓上，動點在圓上，求的最大值；

（3）若射線分別與橢圓交于點，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1） ，； （2）； （3）見解析.

【解析】

（1）先消去參數得到普通方程，再化為極坐標方程；

（2）利用橢圓參數方程求出橢圓上的點到圓心的最遠距離，從而可得；

（3）根據射線垂直的特征，求出交點的極坐標，證明即可.

（1）橢圓化為普通方程為：；

將，代入得的極坐標方程為

又圓的普通方程：，

由，得，，即

（2）由（1）知圓心為，半徑為8，則

利用橢圓參數方程，設：

得，

當即時，，則

（3）橢圓極坐標方程：

因為射線，互相垂直，即，

設：，，所以，．

為定值．