Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=(m+1)－ma_n 對任意正整數(shù)n都成立，其中m為常數(shù)，且m＜－1.
(1)求證:{a_n}是等比數(shù)列；
(2)設數(shù)列{a_n}的公比q=f(m)，數(shù)列{b_n}滿足:b₁=a₁,b_n=f(b_n－1)(n≥2,n∈N^*). 試問當m為何值時，成立？

Answer 1

(1) 證明略，(2)

(1）由已知S_n+1=(m+1)－ma_n+1　①，　　S_n=(m+1)－ma_n②,
由①－②，得a_n+1=ma_n－ma_n+1，即(m+1)a_n+1=ma_n對任意正整數(shù)n都成立.
∵m為常數(shù)，且m＜－1
∴，即{}為等比數(shù)列.
(2)當n=1時，a₁=m+1－ma₁，∴a₁=1，從而b₁= 
由(1)知q=f(m)=，∴b_n=f(b_n－1)= (n∈N^*,且n≥2)
∴，即，
∴{}為等差數(shù)列。 ∴=3+(n－1)=n+2，
(n∈N^*).

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