Question

（08年汕頭金山中學理） 設數列{a_n}的各項都是正數,且對任意都有a₁³+a₂³+ a₃³+…+ a_n³=S_n²,其中S_n為數列{a_n}的前n項和.

   (1)求證:a_n²=2S_n-a_n;     

   (2)求數列{a_n}的通項公式;

   (3)設b_n=3ⁿ+(-1)^n-1λ?(λ為非零整數, ),試確定λ的值,使得對任意,都有b_n+1>b_n成立.

Answer 1

解析: (1)由已知,當n=1時,a₁³=a₁²,  

∵a₁>0,  ∴ a₁=1

   當n≥2時, a₁³+a₂³+ a₃³+…+ a_n³=S_n²,              ①

　 a₁³+a₂³+ a₃³+…+ a_n-1³=S_n-1²,            ②

   由①-②得, a_n³= S_n²- S_n-1²= a_n(2S_n-1+a_n)

   ∵a_n>0,  ∴ a_n²=2S_n-1+a_n,即a_n²=2S_n-a_n,

    當n=1時, a₁=1適合上式,       ∴ a_n²=2S_n-a_n

  (2)由(1)知, a_n²=2S_n-a_n                                     ③

當n≥2時, a_n-1²=2S_n-1-a_n-1                        ④

   由③-④得, a_n² -a_n-1²=2(S_n- S_n-1)-a_n+a_n-1= a_n+a_n-1

   ∵a_n>0  ∴a_n-a_n-1=1,  

 因此,數列{ a_n }是首項為1,公差為1的等差數列, 故得a_n=n.

(3)∵a_n=n_, ∴ b_n=3ⁿ+(-1)^n-1λ?.      要使b_n+1>b_n恒成立,

即,使b_n+1-b_n=3ⁿ⁺¹+(-1)ⁿλ?-3ⁿ-(-1)^n-1λ?=2×3ⁿ-3λ(-1)^n-1?2ⁿ>0恒成立,