Question

若等比數列的各項均為正數，前n項之和為S，前n項之積為P，前n項倒數之和為M，則下列關系成立的是

③

．                                                              　　　　　　　                  
①P=

S

M

；②P＞

S

M

；③P2=(

S

M

)n；④P²＞(

S

M

)n．

Answer 1

分析：設出等比數列的首項和公比，分公比等于1和不等于1分類求出前n項之和為S，前n項之積為P，前n項倒數之和為M，驗證后可知③成立．

解答：解：設此等比數列的首項為a₁，公比為q
若q=1，則S=na₁，M=

n

a1

，P=a1n，∴P2=a12n，(

S

M

)n=a12n，
若q不等于1，則S=

a1(qn-1)

q-1

，M=

1-( 1 q )n

a1(1- 1 q )

=

qn-1

a1(qn-qn-1)

，P=a1n•q

n(n-1)

2

所以(

S

M

)n=(a12•qn-1)n=a12n•qn(n-1)
P2=a12n•qn(n-1)．
∴P2=(

S

M

)n．
故答案為③．

點評：本題考查了等比數列的性質，考查了分類討論的數學思想方法，考查了學生的計算能力，是中檔題．