Question

在路邊安裝路燈，燈柱OA的高為h，路寬OC為23米，燈桿AB的長為2.5米，且與燈柱OA成120°角．路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線BD與燈桿AB垂直．請你建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，解決以下問題：
（1）當(dāng)h=10米時(shí)，求燈罩軸線BD所在的直線方程；
（2）當(dāng)h為多少米時(shí)，燈罩軸線BD正好通過道路路面的中線．

Answer 1

分析：（1）以燈柱底端O點(diǎn)為原點(diǎn)，燈柱OA所在直線為y軸，路寬OC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則可得點(diǎn)A，C，B的坐標(biāo)，利用BD⊥AB，即可確定BD的方程；
（2）設(shè)路面中線與路寬OC的交點(diǎn)為D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（11.5，0），由（1）可得BD的方程為y-（h+1.25）=-

3

（x-1.25

3

），將D的坐標(biāo)（11.5，0），即可求得h的值．

解答：解：（1）以燈柱底端O點(diǎn)為原點(diǎn)，
燈柱OA所在直線為y軸，
路寬OC所在直線為x軸，
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，（2分）
則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，h），
C點(diǎn)的坐標(biāo)為（23，0），…（3分）
因?yàn)闊魲UAB與燈柱OA成120°角，
所以AB的傾斜角為30°，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2.5cos30°，h+2.5sin30°），
即（1.25

3

，h+1.25）．--------------------------------------------------------------------（5分）
因?yàn)锽D⊥AB，所以kBD=-

1

kAB

=-

3

，…（7分）
當(dāng)h=10時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1.25

3

，11.25），
此時(shí)BD的方程為y-11.25=-

3

（x-1.25

3

），即

3

x+y-15=0   …（10分）
（2）設(shè)路面中線與路寬OC的交點(diǎn)為D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（11.5，0）．      …（11分）
由（1）可得BD的方程為y-（h+1.25）=-

3

（x-1.25

3

）
將D的坐標(biāo)（11.5，0），代入可得：-（h+1.25）=-

3

（x-1.25

3

）
∴h=11.5

3

-5（米）．

點(diǎn)評：本題考查直線方程，考查直線方程的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)．