Question

若

a

，

b

是兩個非零向量，且|

a

|=|

b

|=λ|

a

+

b

|，λ∈[

3

3

，1]，則

b

與

a

-

b

的夾角的取值范圍是（　　）

• A．[

  2π

  3

  ，

  5π

  6

  ]
• B．[

  π

  3

  ，

  2π

  3

  ]
• C．[

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]
• D．[

  π

  6

  ，

  π

  3

  ]

Answer 1

分析：利用菱形和向量的平行四邊形法則先求出：當λ=1時，與當λ=

3

3

時，

b

與

a

-

b

的夾角的取值范圍，即可得出．

解答：解：如圖所示，
①當λ=1時，∵|

a

|=|

b

|=|

a

+

b

|，
設

OA

=

a

，

OB

=

b

，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB．
則點A，B，C都在以點O為圓心，|

a

|為半徑的圓上．
∴△OAC是等邊三角形，∴∠OBA=

π

6

，
∴∠DBA=

5π

6

，
∵

BA

=

a

-

b

，∴

b

與

a

-

b

的夾角為

5π

6

．
②當λ=

3

3

時，設|

a

|=x，在△OAC中，cos∠AOC=

1 2 | OC |

| OA |

=

3

2

，∴∠AOC=

π

6

，∴∠AOB=

π

3

．
∴∠DBA=

2π

3

．
③當λ∈(

3

3

，1)時，∠DBA∈(

2π

3

，

5π

6

)．
綜上可知：

b

與

a

-

b

的夾角的取值范圍是[

2π

3

，

5π

6

]．
故選A．

點評：本題考查了向量的運算法則、菱形的性質、數形結合等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．