Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，焦點到其相應準線的距離是3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點A（4，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，使得|AM|•|AN|=

81

7

？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由離心率為

1

2

得

c

a

=

1

2

，由焦點到其相應準線的距離是3，得

a2

c

-c=3，再由a²=c²+b²，聯立可解得a，b的值；
（Ⅱ）可設直線l的方程為y=k（x-4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），與橢圓方程聯立消掉y得x的二次方程，則△＞0，可得k的取值范圍，利用韋達定理及弦長公式可用k表示出|AM|•|AN|，根據|AM|•|AN|=

81

7

可得k的方程，解出k后代入直線方程即可，注意檢驗所求k值是否符合其范圍；

解答：解：（Ⅰ）由題意得

c

a

=

1

2

，

a2

c

-c=3，聯立a²=c²+b²，解得 a=2，c=1，b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）假設存在滿足條件的直線l，
易知直線l斜率存在，設直線l：y=k（x-4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
與橢圓方程聯立得，（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
∴△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得-

1

2

＜k＜

1

2

，
且x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

，
又|AM|•|AN|=

1+k2

|x1-4|•

1+k2

|x2-4|=（k²+1）（4-x₁）（4-x₂）
=（k²+1）[x₁x₂-4（x₁+x₂）+16]=(k2+1)(

64k2-12

3+4k2

-4×

32k2

3+4k2

+16)
=(k2+1)•

36

3+4k2

，
∴(k2+1)•

36

3+4k2

=

81

7

，解得k=±

2

4

，滿足-

1

2

＜k＜

1

2

，
∴存在滿足條件的直線l，直線l的方程為y=±

2

4

（x-4）．

點評：本題考查橢圓的標準方程、簡單性質及直線與橢圓的位置關系，考查學生的運算能力、分析解決問題的能力，弦長公式、韋達定理，判別式等知識經常用到，要熟練掌握．