Question

已知函數f(x)=

1

2

sin2xcos?+sin2xsin?+

1

2

cos(

π

2

+?)+

1

2

，(-

π

2

＜?＜

π

2

)，其圖象過點(

π

6

，1)
（1）求f（x）的解析式，并求對稱中心
（2）將函數y=f（x）的圖象上各點縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的2倍，然后各點橫坐標不變，縱坐標擴大為原來的2倍，得到g（x）的圖象，求函數g（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用降冪公式，兩角差的正弦公式，輔助角公式，我們可以凈函數f（x）的解析式化為正弦型函數的形式，結合其圖象過點(

π

6

，1)，我們可以求出∅值，得到f（x）的解析式，再由正弦型函數的對稱性質，求出對稱中心的坐標．
（2）由正弦型函數的圖象的變換法則，我可以求出g（x）的解析式，進而根據正弦型函數的值域和性質得到函數g（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）f(x)=

1

2

sin2xcos?+sin2xsin?-

1

2

sin?+

1

2

=

1

2

sin2xcos?+

1-cos2x

2

sin?-

1

2

sin?+

1

2

=

1

2

sin2xcos?-

1

2

cos2xsin?+

1

2

=

1

2

sin(2x-?)+

1

2

（3分）
∵過(

π

6

，1)，
∴

1

2

sin(

π

3

-?)+

1

2

=1
∵-

π

2

＜?＜

π

2

∴?=-

π

6

（2分）
f(x)=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

1

2

，對稱中心為(

kπ

2

-

π

12

，

1

2

)，k∈Z（2分）
（2）∵f(x)=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

1

2

，（1分）
g(x)=sin(x+

π

6

)+1（2分）
x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]
當x+

π

6

=

π

2

時，即x=

π

3

時，g（x）的最大值為2  （2分）
當x+

π

6

=

π

6

時，即x=0時，g（x）的最小值為

3

2

（2分）

點評：本題考查的知識點是三角函數的最值，正弦函數的對稱性質，正弦函數的圖象變換，其中（1）的關鍵是求出f（x）的解析式，（2）的關鍵是求出g（x）的解析式．