在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中c=2，且 $數學公式$ ．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）如圖，設圓O過A，B，C三點，點P位于劣弧 $數學公式$ 上，求△PAC面積最大值．

（1）證明：由正弦定理得 $\text{[math]}$ ，…（2分）
整理為sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，…（3分）
又因為0＜2A、2B＜2π，
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或 $\text{[math]}$ ．…（6分）
∵ $\text{[math]}$ ，∴A=B舍去，故 $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 可知 $\text{[math]}$ ，∴△ABC是直角三角形．…（6分）
（2）解：由（1）及c=2，及勾股定理得a=1， $\text{[math]}$ ，…（7分）
設 $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ ，…（8分）
在Rt△PAB中，PA=AB•cosθ=2cosθ
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（10分）
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ …（12分）
因為 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ ，
當 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 時，S_△PAC最大值等于 $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（1）由正弦定理求得sin2A=sin2B，故2A=2B或2A+2B=π，再由 $\text{[math]}$ ，可得只能 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，從而得到
△ABC是直角三角形．
（2）由（1）及c=2，及勾股定理得a=1， $\text{[math]}$ ，設 $\text{[math]}$ ，則 PA=AB•cosθ=2cosθ，化簡△PAC面積為 $\text{[math]}$ ，再由θ的范圍可得 $\text{[math]}$ 時，S_△PAC取得最大值．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦定理、正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．

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科目：高中數學 來源： 題型：

8、對于直角坐標平面內的任意兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定義它們之間的一種“距離”：||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．給出下列三個命題：
①若點C在線段AB上，則||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=90^o，則||AC||²+||CB||²=||AB||²；
③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．
其中真命題的個數為（　　）

A、0

B、1

C、2

D、3

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對于直角坐標平面內的任意兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定義它們之間的一種“距離”：‖AB‖=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．給出下列三個命題：
①若點C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖＞‖AB‖．
其中真命題的個數為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

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③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三個角成等差數列”的充要條件．
④“若-3＜m＜5則方程

5-m

m+3

=1是橢圓”．
⑤在四面體OABC中，

，

，D為BC的中點，E為AD的中點，則

⑥橢圓

=1上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為5．
其中真命題的序號是：

①②③⑤⑥

．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

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初中

小學

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（2）如圖，設圓O過A，B，C三點，點P位于劣弧 $數學公式$ 上，求△PAC面積最大值．

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