Question

已知二次函數，關于x的不等式的解集為，其中m為非零常數.設.
(1)求a的值；
(2)如何取值時，函數存在極值點，并求出極值點；
(3)若m=1，且x>0，求證：

Answer 1

（1）（2）當時，取任何實數, 函數有極小值點；
當時，，函數有極小值點，有極大值點.…9分
(其中, )（3）見解析

（1）解：∵關于的不等式的解集為，
即不等式的解集為，
∴.
∴.
∴.
∴.
(2)解法1:由(1)得.
∴的定義域為.
∴. ………3分
方程（*）的判別式
.………4分
①當時，，方程（*）的兩個實根為
 ………5分
則時，；時，.
∴函數在上單調遞減，在上單調遞增.
∴函數有極小值點. ………6分
②當時，由,得或，
若，則
故時，，
∴函數在上單調遞增.
∴函數沒有極值點.………7分
若時，
則時，；時，；時，.
∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.
∴函數有極小值點，有極大值點. ………8分
綜上所述, 當時，取任意實數, 函數有極小值點；
當時，，函數有極小值點，有極大值點.…9分
(其中, )
解法2:由(1)得.
∴的定義域為.
∴. ………3分
若函數存在極值點等價于函數有兩個不等的零點，且
至少有一個零點在上. ………4分
令,
得, (*)
則,(**)…………5分
方程（*）的兩個實根為, .
設,
①若,則,得,此時,取任意實數, (**)成立.
則時，；時，.
∴函數在上單調遞減，在上單調遞增.
∴函數有極小值點. ………6分
②若,則得
又由(**)解得或,
故.………7分
則時，；時，；時，.
∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.
∴函數有極小值點，有極大值點. ………8分
綜上所述, 當時，取任何實數, 函數有極小值點；
當時，，函數有極小值點，有極大值點.…9分
(其中, )
（3）∵， ∴.
∴ 

. ………10分
令，
則
.
∵，
∴…11分
12分


.………13分
∴，即. ……………14分
證法2：下面用數學歸納法證明不等式.
① 當時，左邊，右邊，不等式成立；
………10分
②假設當N時，不等式成立，即，
則

………11分
 ………12分
. ………13分
也就是說，當時，不等式也成立.
由①②可得，對N，都成立. …14分