Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣a|． （Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集為[0，4]，求實數a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵|x﹣a|≤2，∴a﹣2≤x≤a+2， ∵f（x）≤2的解集為[0，4]，∴ ，∴a=2．
（Ⅱ）∵f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，
∵x0∈R，使得 ，
即 成立，
∴4m+m2＞[f（x）+f（x+5）]min ， 即4m+m2＞5，解得m＜﹣5，或m＞1，
∴實數m的取值范圍是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．
【解析】（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集為[0，4]，可得 ，即可求實數a的值；（Ⅱ）根據第一步所化出的分段函數求出函數f（x）的最小值，若x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m成立，只需4m+m2＞fmin（x），解出實數m的取值范圍．
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．