Question

（12分）已知函數.
（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的單調區間；
（2）若對于都有成立，試求的取值范圍；
（3）記.當時，函數在區間上有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）的單調增區間是,單調減區間是（2）
（3）

試題分析：(1)由題意知直線的斜率為1.
函數的定義域為，，
所以，所以.
所以， .
由解得；由解得.
所以的單調增區間是,單調減區間是.                     ……4分
(2)，由解得；由解得.所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.
所以當時，函數取得最小值，.
因為對于都有成立，所以即可.
則. 由解得.  
所以的范圍是                                                 ……8分
(3)依題得，則.
由解得；由解得.
所以函數在區間上為減函數，在區間上為增函數.
又因為函數在區間上有兩個零點，所以
解得.所以的取值范圍是                  ……12分
點評：導數是研究函數性質尤其是單調性的重要工具，研究函數的性質時不要忘記求函數的定義域，在定義域范圍內求解；第（3）問函數的零點問題要結合函數的圖象進行轉化.